測量成果や地図データの「誤差」とは何か

大場亨

「測量成果や地図データには誤差がある」とよく言われます。この「誤差」とは何かがわかりにくいとも言われます。ここでは測量成果などの「誤差」の基本について説明します。学問的な厳密性よりもわかりやすさを重視して書きました。詳しくは統計や測量の解説書をご覧ください。

１．観測値にはばらつきがある

　例をあげて説明します。Ａ地点に測量機を置いて、Ｂ地点までの距離を甲さんが２０回測り、次のような観測値を得ました。
199.8m, 200.1m, 200.0m, 200.0m, 200.1m, 200.0m, 199.9m．．．
ただし、ｍはメートルです。このように測る度に距離は異なって観測されるものです（同様に角度も測る度に異なって観測されるものです）。上記の観測値を小さい順に並べて整理したのが下表です。

２．誤差とは

　誤差とは、観測値と真実の値（真値）との差のことを言います。

甲さんの例で真値をＴメートルとすると、1回目の観測の誤差は次のようになります。
１回目の観測の誤差＝199.8－Ｔ

３．系統誤差と偶然誤差

　誤差には系統誤差（定誤差）と偶然誤差（不定誤差）があります。例えば、等間隔でない角度目盛が ついた測量機で角度を繰り返し読定した場合に、同じような傾向が現れる誤差を系統誤差（定誤差）といいます。角度は一周して３６０度ですから、目盛の間隔がある部分で狭くなっているなら、他のどこかの部分で広くなっているはずです。そこで水平角を読むとき、目盛の色々な部分を均等に用いてその平均値を算出すれば、その系統誤差（定誤差）を少なくすることができます。このように系統誤差（定誤差）が少なくなるように、国土交通省公共測量作業規程では様々な測量の手順が定められています。
　系統誤差（定誤差）では説明できない誤差を偶然誤差（不定誤差）と言います。以下では系統誤差（定誤差）がないように測量され、偶然誤差（不定誤差）のみが含まれているという前提で、上記の観測値を例に説明します。

４．真値の代わりに平均値、誤差の代わりに偏差を用いる

　測量によって観測値を得ることはできても、私たちには真値は決してわかりません。そこで最も確からしい値（最確値）を求めることにしています。
　上記の例では、199.8mや200.2mと観測された回数は１回のみですが、200.0mと観測された回数は８回になっています。このような現象は、次の仮定をするとうまく説明することができます。
（１）絶対値の等しい正、負の誤差は同等に発生する
（２）誤差が大きい観測回数は少なく、誤差が小さい観測回数は多い
（３）極めて大きい誤差は決して生じない
これらの仮定が成立するとするとき（※１）、最確値は平均値であることがわかっています。そこで真値の代わりに平均値を用います。この場合には誤差と区別して偏差という語が使われます。

　甲さんの観測値の平均値は次のように計算されます。
甲さんの観測値の平均値＝
（199.8×1 + 199.9×5 + 200.0×8 + 200.1×5 +　200.2×1）／ 20
＝200.0

　また偏差は次のようになります。

　観測を何回も行ったとき、ばらつきが大きい観測値群よりも、それが小さい観測値群の方が偶然誤差（不定誤差）が少なかったと予想されます。そこで観測の良さは、観測値の偏差の大小で評価します。
　それでは偏差の大きさをどう計算したらよいでしょうか。上表のとおり偏差の合計は0.0です。したがって偏差の平均値も0.0になってしまいます。そこで偏差の平方（２乗）の平均値で偏差の大きさを表しています。これを分散と言います。またその平方根である標準偏差も用いられます。例えば甲さんの観測値の分散と標準偏差は次のように計算されます。
甲さんの観測値の分散＝0.18/20=0.009

数式で書くと次のようになります（※２）。

ただし nは観測回数の合計、xiは各観測値です。

　前述の仮定(1)(2)(3)を表す分布のうち最も代表的な正規分布が下図です。平均値で観測される確率密度が最も高く、左右対称になっています。曲線の下の面積は１です。平均値から標準偏差を減じた値から、平均値に標準偏差を加えた値まで（図の網掛け部分）の曲線下の面積は約0.68です。つまり先の例でいえば、誤差が正規分布に従うとの仮定の下で、199.905mから200.095mの間で距離が観測される確率は約68%であるということです（※３）。
　測量の観測の良し悪しを標準偏差で判断することになっている例が多くあります。この場合、観測値の標準偏差が規定の範囲内であれば合格となります。もし大量に観察し、規定にぎりぎりで合格した観測データがあり、誤差が正規分布に従っていると仮定すると、約68%の観測値はその範囲内であり、残り約32%の観測値はその範囲外であるわけです。

５．位置正確度の評価基準

　それでは実際の位置正確度の評価基準の例をいくつか紹介します。以下の評価基準は変更されることがありますので、適用する際には所管の機関にて最新情報をご確認ください。

（１）デジタルマッピングの位置正確度

デジタルマッピングの場合、平面位置や標高点の標高の位置正確度を標準偏差で規定しています。最大値で規定されているのではないことに注意してください。

（２）総務省「共用空間データ基本仕様書」における道路と建物の位置正確度

　平成１３年７月１２日に総務省自治行政局地域情報政策室から「統合型の地理情報システムに関する全体指針」が地方公共団体に示されました。これと同時に示された「共用空間データ基本仕様書」では、基本的な地図データとして整備すべき項目として行政区域・筆・境界杭・基準点・街区・道路中心線・道路・車歩道境界・建物・軌道・河川水涯線・湖池・海岸線・水部構造物・標高・画像の１６項目を挙げています。これらのうち道路と建物では次のように位置正確度を要求しています。
　ここでも位置正確度が最大値ではなく、標準偏差で規定されていることに注意してください。ここで現地真位置は決してわからないものです。現地真位置を最確値と置き換えて考えるか、より高い精度で別に測量された結果を現地真位置とみなすことになります。

道路の絶対位置正確度（現地真位置との乖離）
　管理対象の公道：　標準偏差 0.7m以内
　管理対象外公道：　標準偏差1.75m以内
　その他道路（都市計画区域内）：標準偏差1.75m以内
　その他道路（都市計画区域外）：標準偏差3.50m以内

建物の絶対位置正確度（現地真位置との乖離）
　都市計画区域内：標準偏差1.75m以内
　都市計画区域外：標準偏差3.50m以内

（３）地籍調査における筆界点の位置正確度

　地籍調査で筆界点の位置誤差とは、当該筆界点の位置を決定した与点に対する位置誤差をいい、次のように規定されています(国土調査法第１７条第２項、同法第１９条第２項、国土調査法施行令第６条、同令別表第５）。平均二乗誤差とは標準偏差であり、公差とは標準偏差の３倍です。平均値から公差を減じた値から、平均値に公差を加えた値までの範囲の正規分布曲線下の面積は約0.997です。つまり筆界点の位置の99.7%は公差内にあると推定することができるものでなければなりません。

精度区分	筆界点の位置誤差		筆界点間の図上距離又は計算距離と 直接測定による距離との差異の公差
	平均二乗誤差	公差
甲１	２ｃｍ	６ｃｍ	0.02m＋0.003√Ｓm＋ａmm
甲２	７ｃｍ	２０ｃｍ	0.04m＋0.010√Ｓm＋ａmm
甲３	１５ｃｍ	４５ｃｍ	0.08m＋0.020√Ｓm＋ａmm
乙１	２５ｃｍ	７５ｃｍ	0.13m＋0.040√Ｓm＋ａmm
乙２	５０ｃｍ	１５０ｃｍ	0.25m＋0.070√Ｓm＋ａmm
乙３	１００ｃｍ	３００ｃｍ	0.50m＋0.140√Ｓm＋ａmm

備考
一　精度区分とは、誤差の限度の区分をいい、その適用の基準は、国土交通大臣が定める。
二　筆界点の位置誤差とは、当該筆界点のこれを決定した与点に対する位置誤差をいう。
三　Ｓは、筆界点間の距離をメートル単位で示した数とする。
四　ａは、図解法を用いる場合において、図解作業の級が、Ａ級であるときは０．２に、その他であるときは０．３に当該地籍図の縮尺の分母の数を乗じて得た数とする。図解作業のＡ級とは、図解法による与点のプロットの誤差が０．１ミリメートル以内である級をいう。
五　Ｆは、一筆地の地積を平方メートル単位で示した数とする。
六　ｍはメートル、㎝はセンチメートル、㎜はミリメートル、m2は平方メートルの略字とする。

（４）マップデジタイズ結果の位置正確度

　国土地理院「地図データの品質とその評価に関する指針第１版（案）」では、マップデジタイズ結果の位置正確度の適合性品質基準の例として「マップデジタイズ2500レベルの場合。元資料である既成図上で0.3mm以内とする。」を挙げています。また国土交通省公共測量作業規程第337条運用基準では、「地物等の計測の精度は、図上0.3mm(標準偏差)以内とする。」と規定され、標準偏差であることが示されています。

注

※１　厳密には、誤差が正規分布に従うとき
※２　標本における分散から、母集団における分散は次のように予測することができることがわかっています。実際の計算でも次の式を用います。

※３　厳密には※２の式で算出した標準偏差を平均値に加減した範囲内で距離が観測される確率が約68%です。